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行列で連立方程式を解く

メインページ使える数学

行列を使って連立方程式を解く方法を紹介します。

【計算例
3つの方程式
 連立方程式

を行列であらわすと

連立方程式を行列であらわす

となります。この行列を逆行列を使ってX、Y、Zに関して解くと
 行列で連立方程式を解く

となり連立方程式を行列で解くことができます。

というのは普通すぎて面白くないので、3点からなる円の方程式を行列で解く方法を紹介します。


中心(a、b)、半径 r の円の方程式

  (X - a)2 + (Y - b)2 = r2

を展開して

  X+ Y2
 - 2aX - 2bY + a2 + b2 - r =  0

となり、A = 2a、B = 2b、C = r2 - a2 - b2  とおくと、上式は


  AX + BY + C  =   X2  + Y

となります。
ここで、円上の3点(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X2、Y2)を代入すると

  AX0 + BY0 + C  =  X02  + Y02    
  AX1 + BY1 + C  =  X1+ Y12 
  AX2 + BY2 + C  =  X2+ Y22 

の3本の式が成り立ち、これを行列で表現すると、

 行列で円の方程式を解く

となり、A、B、Cに関して行列を解くと
 円の方程式を解く

となり、A、B、Cが求まることから、A = 2a、B = 2b、C = r2 - a2 - b2  より
中心と半径を求めることができる。

行列を解く部分は
 ガウスの消去法
のページを参照下さい。

逆行列はエクセルでも解くことができるので、
  行列の積、逆行列、転置行列の計算
のページも御参照下さい。


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