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標準偏差

■標準偏差とは?

標準偏差(Standard Deviation【略】SD)はデータの散らばりぐらいを示す値で σであらわされます。
測定誤差やノイズなどの評価値として用いられます。

標準偏差

標準偏差の計算

標準偏差は各データを各データ、データの平均値をデータの平均値とすると

  分散

を分散といいます。分散の平方根

  標準偏差の公式

が標準偏差となります。

この式で数学的には問題は無いのですが、式を見ても分かるように全データから平均値を求めてから各データとの差を求めるため、プログラム的には全データを2回参照することになるため、あまりよろしくありません。
そこで、分散の式を以下のように変形します。

  分散の式の変形

ここで平均値データの平均値

  平均値の式

で求まることから、分散の式は

  分散の式の変形

となり、この式を用いて分散、標準偏差のプログラムを作ると、全データを1回の参照で済むので、より効率的になります。

ポイント!!

分散 = 2乗の平均 - 平均の2乗

標準偏差 = 分散の平方根

■正規分布

下図のように、平均値付近にデータの出現頻度が集中し、頻度に偏りが無く、平均値に対して左右対称で、平均値から遠くなればなるほど頻度が少なくなる状態を
正規分布にしたがうといいます。

正規分布

この頻度を関数であらわすと

  ガウス分布

となります。
正規分布はガウス分布とも呼ばれ、画像処理のフィルタ処理にも使われます。

正規分布にしたがう場合のデータは下図のような割合で分布します。

正規分布の割合

この特性から、測定器の測定精度やカメラで撮影した画像のノイズレベルなどにおいて1σや3σなどであらわされる場合があります。

 


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