画像処理ソリューション
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3点からなる角度を求める

下図のように3点からなる角度を求めるのに内積を使って求める方法を紹介します。
     3点からなる角度を求める

内積の計算では、下図のように2つのベクトルがあった場合、

   内積
   内積の図

内積の計算式は
  内積の計算

で、求めることができます。
ここで、内積の式のcosθの部分に注目して、

  内積の式から角度を求める

というように式を変形すると、cosθが求まることから、アークコサインを計算すると、
角度を求めることができる。

ただし、この計算では、下図のようにベクトルの位置関係が異なっていても、角度の値は
同様の値となります。

  内積で角度を求める

この位置関係を求めたい場合には外積を用いて求めます。

例題

3点 A(3,4)、B(1,3)、C(2,6)からなる三角形の∠ABCの
角度を求めよ。
     3点からなる角度を求める

解法

  3点の座標より、次のように2つのベクトルを考える。

    ベクトル
  
  2つのベクトルのなす角は内積の式より

    内積の式より角度を求める

   となり、アークコサインを計算すると、
     3点からなる角度を求める

   となり、3点からなる角度を求めることができる。

【注意】
  インターネットで3点からなる角度を求める方法を検索していると 、例題でいうと辺BCと辺BAの傾きを
  アークタンジェント(tan-1θ)を使って求めて、それぞれの傾きの差を取ることで角度を求める方法が
  掲載されている場合もありますが、tan-1θで求められる角度は-π~+π(-180°~+180°)なので
  角度がこの境界付近だと正しく計算できない場合があります。
  (もちろん、if文などを用いて条件分けすれば、求められなくはありませんが...)
  それよりも、内積(外積)を用いて角度を求めた方が簡単、お手軽です。
  

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この記事に対するコメント

どうもありがとうございます。
これからもよろしくお願いします!
【2012/08/04 00:44】 URL | Akira #- [ 編集]


大学の実験のプログラミングの参考になりました。
ありがとうございます。
【2012/08/03 14:41】 URL | 火水 #- [ 編集]


あっ、なおしておきました。
アークタンジェントを計算する関数(atan、atan2など)によっても計算結果の戻り値の範囲は異なると思いますが、計算した角度に切れ目がある事に注意して下さい。
【2011/01/18 20:30】 URL | Akira #- [ 編集]


-π~+π(-90°~+90°)???
【2011/01/18 14:19】 URL | #- [ 編集]


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