画像処理ソリューション
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Akira

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グラフ(関数)の拡大縮小、平行移動

■拡大、縮小

XとYであらわせる関数
 関数の式

をX軸方向に  、Y軸方向に  倍の拡大縮小すると
 グラフの拡大縮小

となります。
(拡大の場合、Sx,Syは1以上、縮小の場合、Sx,Syは1以下となります。)

■回転移動

関数 f(X,Y)を原点周りにθ度回転すると
グラフの回転
となります。 

■平行移動

関数 f(X,Y)をX軸方向に  、Y軸方向に  だけ平行移動すると
 グラフの平行移動

となります。

拡大縮小してから平行移動した場合は
 グラフの拡大縮小、平行移動

となります。


グラフ(関数)を拡大、縮小、回転、平行移動するときに、実際にX、Yの値の変換は全て逆!つまり

  拡大の場合:縮小
    θ度回転の場合:-θ度回転
    +方向へ移動の場合:-方向へ移動

の処理をしています。 何だかとっても違和感がありますが、グラフ(関数)を移動していると思うのではなく、グラフ(関数)はそのままに、XY軸を変換していると思うと、少しはしっくり来るでしょうか...

グラフの拡大

グラフの回転

グラフの平行移動 

 


 また、拡大縮小、回転、平行移動を同時に行う場合は、変換の順番に注意が必要です。
行列の計算と同じように、計算の順番が異なると計算結果も異なります。基本的には

  拡大縮小 ⇒ 回転 ⇒ 平行移動

の順番で変換を行うのが、一番よいでしょう。
もちろん、分かっていて別の順番で変換するのは構いません。 


 

  ■具体

半径1の円の式、グラフは
円の式
円のグラフ
となり、このグラフをX軸方向に  、Y軸方向に  倍の拡大縮小すると
円の拡大縮小
楕円のグラフ
となります。
式を変形すると楕円の公式そのものとなります。

  楕円の公式

さらにX軸方向に  、Y軸方向に  だけ平行移動すると
  楕円の平行移動
   楕円グラフの平行移動
となり、円のグラフを拡大縮小、平行移動することで楕円の一般式となります。

■応用

2点を通る直線の式を、グラフの平行移動の考え方を用いて求めます。 

 2点を通る直線の式

2点を通る直線の式は
  直線の式

より、よくある直線の式の解き方は、XとYに2点の座標を代入して、2つの式を作成し、
連立方程式を用いて、未知数の  と 
 を求めると思います。

しかし、直線の傾き  はグラフを見て分かる通り、(Yの増分)/(Xの増分)であるから
  直線の傾き

となり、あとは切片の  を求めるだけになります。

ここで、少し見方を変えて、原点を通る傾き  のグラフを下図のように
原点(0,0)から点(X1、Y1)へ平行移動します。

直線の平行移動

これを式であらわすと
  直線の式の求め方

となり、直線の式を求めることができます。
この式をそのまま覚えている方もいると思いますが、グラフの拡大縮小、平行移動の
考え方は汎用的に使うことができ、応用範囲がとても広がります。


他にも 
 
Y = sinθ

という波形に関して、

  Y軸方向の拡大率は振幅
  θ軸方向の拡大率は周期
  θ軸方向の平行移動は位相のズレ

というように、置き換えて考えることもできます。

このように考えるようになると、高校時代に一生懸命覚えたけど、すぐに忘れてしまうこのへんの公式↓

 sin ( - θ ) = - sin θ      、 cos ( - θ ) = cos θ

sin ( 90°+ θ ) = cos θ  、 sin ( 90°- θ ) = cos θ

cos( 90°+ θ ) = - sin θ 、 cos ( 90°- θ ) = sin θ

sin ( 180°+ θ ) = - sin θ 、 sin ( 180°- θ ) = sin θ

cos ( 180°+ θ ) = - cos θ 、 cos ( 180°- θ ) = - cos θ

 

 は全て拡大縮小、平行移動として考えることが出来ます。

例えば sin ( 90°- θ ) は sin ( -(θ - 90°) ) と書きかえると
sin波形をθ方向に-1倍(Y軸に対して対称移動)してから、+θ方向に90°平行移動すれば良い事が分かります。
最初に手元にsin波形を描いておけば、変換後、どのような波形になるのか?は見ればわかりますよね?!



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