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ロバスト推定法(M推定法)

ロバストとは?

ロバスト(Robust)という言葉を辞書で調べると、「頑健なさま、がっしりした様子」という意味が載っています。
画像処理的には、ノイズや影、明るさの変動などの影響を受けにくく、安定した処理結果が得られる、ぐらいの意味として捉えれば良いでしょう。

ロバスト推定法

通常の最小二乗法では下図のように、数点の大きな誤差が含まれるだけでも、近似した直線が大きくズレてしまう場合があります。
この誤差の影響をできるだけ受けないようにしたのが、ロバスト推定法です。

   最小二乗法とロバスト推定法との比較

 処理アルゴリズム

まずは最初に、通常の最小二乗法を行います。
直線の式(y=ax+b)で近似する場合は以下のように行列を用いて解くことができます。

 通常の最小二乗法の式

この近似した直線から遠く離れたデータを除去するだけでも、大きな誤差のデータの影響を受けなくなりそうですが、ここでは、誤差の大きさに応じて重みを付けるTukeyのBiweight推定法という手法を紹介します。

近似データ(Xi、Yi)と近似直線との誤差d=Yi - (aXi + b)を用いて、誤差が大きければ大きいほど、最小二乗に与える影響力(重み)が小さくなるように、以下のような式を用いて重み計算します。

 d < -Wの場合
  ロバスト推定の重みの式

 -W <= d <= Wの場合
  ロバスト推定の重みの式
  
 W < dの場合
  ロバスト推定の重みの式

  ただし、大文字のは誤差の許容範囲を示します。

この重みの関数w(d)をグラフで示すと、このようになります。
  ロバスト推定の重みのグラフ

この重み(Wi)を各近似データ(Xi、Yi)に関して計算し、Wiを付加した最小二乗法を再度行います。

  重み付き最小二乗法

こうして求めた近似式(y = a'X + b')は最初に求めた近似式よりも、測定データに近づきます。
この処理を誤差の許容範囲()を小さくしながら、誤差が少なくなるまで繰り返すことで、より測定データに近づいた近似式を得ることができます。

今回の例では一次式について示していますが、他のn次式などについても、同様に行列の各要素に重みを付加することで、ロバスト推定を行うことができます。


■参考文献
最小二乗法による実験データ解析―プログラムSALS (UP応用数学選書 7)
私にはちょっと難しめでしたが、役には立ちそうです。


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