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Akira

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正規直交基底

メインページ使える数学

今回は唐突に正規直交基底の説明なのですが、正規直交基底はフーリエ変換を理解する上で、どうしても知らないと理解できない(理解が深まらない)ので、ここで取り上げたいと思います。

【定義】
ベクトルの大きさが1となり、互いのベクトル(任意の2つのベクトル)が直交するベクトルの組合せ

となります。
ここで、ベクトルの大きさが1という事は、そのベクトルは単位ベクトルであり、
ベクトルが直交するということは、ベクトルの内積が0となる事を意味しています。

もっとも簡単な例として、二次元ベクトルの場合、
正規直交基底
上図のように、e1,e2
正規直交基底
としたとき、このe1,e2は正規直交基底である事は分かると思います。

ここで大事なのが、任意ベクトルe1方向の大きさを,e2方向の大きさをとすると、
  各ベクトルの方向の大きさは内積で求まる!
という特徴があります。
上記の例では

e1方向の大きさ
   = e1 = X  × 1 + Y × 0= X

e2方向の大きさ
   = e2 = X  × 0 + Y × 1= Y  

となります。
逆に
  任意ベクトルは正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる!
という特徴もあります。
任意ベクトルを求めるには正規直交基底の各ベクトルとその大きさをかけて、ベクトルを足し合わせると求まります。
上記の例では

  任意ベクトル  =   × e1 + × e2
             = × (1, 0)+ × (0, 1)
              (, )

となりますが、この例はあまりにも単純な例なので、もう少しだけ具体的にして、ベクトルを

     = (4, 6)

正規直交基底を
正規直交基底
とします。
正規直交基底
このときe1,e2が正規直交基底であるかどうか?は、それぞれのベクトルの大きさと、内積を計算すると確認する事が出来ます。
正規直交基底
正規直交基底
正規直交基底

また、このとき、
e1方向の大きさ
= e1 = 正規直交基底
e2方向の大きさ
= e2 = 正規直交基底

となります。
逆にベクトルVを正規直交基底の
e1,e2とそれぞれの向きの大きさを用いて計算すると
正規直交基底
となり、確かに正規直交基底を用いると任意ベクトルを表すことができそうです。

このことをもう少し一般化して、正規直交基底e1,e2
正規直交基底

としても、任意ベクトル を表すことはできます。
正規直交基底

これをさらに三次元の場合でも、任意ベクトル を表すことができます。
   正規直交基底
このノリでさらにn次元の場合でも同様に正規直交基底をe1,e2・,eとしても、任意n次元ベクトル を表すことができます。

ということで、クドいですが、正規直交基底には
  任意ベクトルを正規直交基底と各大きさを用いて表す事ができる!
という特徴があります。

それって、もうほとんどフーリエ変換の説明になっているのですが、お気づきでしょうか?
フーリエ変換についてはいづれ記事にしたいと思います。

また、画像処理的には、例えばソーベルフィルタでは

-101
-202
-101
-1-2-1
000
121

というように、横方向と縦方向のエッジの大きさを求めたりしますが、2つのカーネルをよくよく見てみると、正規ではない(大きさが1ではない)にしても、9次元ベクトルで2つのベクトルが直行している事がわかります。
その事からも、横方向のエッジの大きさと縦方向のエッジの大きさの比を用いてアークタンジェントを計算して、エッジの角度を求めているのも、妙に納得。


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