画像処理ソリューション
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エクセルで解く最小二乗法

エクセルではグラフの機能で近似曲線の追加というのはありますが、
任意の式で近似したい場合や、近似式の係数を取得したい場合には
エクセルの近似曲線の機能だけでは物足りない場合があります。
そんなときにエクセルでまじめに最小二乗法で解く方法を紹介します。

まずは、最小二乗法を解くとき、逆行列を用いるところまではご理解願います。
詳しくはこちらで紹介しています。
  
最小二乗法
  一般式による最小二乗法

以下では円の最小二乗法を例にとって説明をしたいと思います。

Exelファイルはこちらよりダウンロードできます。
n次式近似を行ったものはこちらから

円の最小二乗法を解くときの円の一般式を

  X2 + Y2 + AX + BY + C = 0

としたときの行列式は

  
円の最小二乗法

です。
まず、行列式に使われている∑の値を求めます。
∑はエクセル関数の「SUM」関数を用いればよいので、簡単に求まります。

円近似データ

まず、行列式の各値を各セルに書いておきます。
次に逆行列を求めるのですが、エクセル関数に「MINVERSE」というのがあります。

逆行列を表示したい複数のセル(下記の例では3×3のセル)を選択します。
次に

  
=MINVERSE(逆行列を求める複数のセル)

と入力します。ここでは文字を入力するだけでEnterキーは押さないこと


逆行列計算

で、次が最大のポイント!
通常ではEnterキーを押したいところですが、行列の計算では

  Ctrlキー  + Shiftキー + Enterキー

を同時に押します。
これで、逆行列の値が求まります。

逆行列計算結果

あとは行列の積が計算できれば、求めたいA,B,Cの値を求めることが
できるのですが、行列の積の計算にはエクセル関数の「MMULT」といのを
用います。

逆行列を計算したときと同様に行列の積の結果を表示したいセル複数のセルを選択し、
   =MMULT(行列1,行列2)
を入力します。ここでも最後はEnterキーだけではなく

  Ctrlキー  + Shiftキー + Enterキー

を押すので注意して下さい。

行列の積

これで求めたかった未知数A,B,Cが求まります。

行列の積の結果

今回は円の近似なので、A,B,Cの値を用いで円の中心座標(a,b)、円の半径rを
求めるには

  a = -A / 2
  b = -B / 2
  r = SQRT(a^2 + b^2 - C)

なので、

円近似結果

となり、円の近似式を求めることができます。


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Re: 式の間違い
間違いをご指摘頂きありがとうございました。
確かにおっしゃる通りです。
本記事も修正しておきました。
どうも、ご迷惑をおかけしました。
【2010/01/21 07:43】 URL | Akira #- [ 編集]

式の間違い
すみません、通りすがりの者ですが、
最後の式の
r = SQRT(A^2 + B^2 - C)
のAとBは、小文字のaとbではないでしょうか?

最後、どうしても数字が合わなくて苦労しました^^;
【2010/01/21 03:27】 URL | k #- [ 編集]


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