画像処理ソリューション
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Akira

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ガウシアンフィルタの特徴

メインページ画像処理

ガウシアンフィルタについては以前紹介しましたが、ガウシアンフィルタには
ローパスフィルタと同様の効果がある!とのこと。

さて?本当かどうか?確かめてみました。

オリジナル画像とその二次元フーリエ変換画像はこちら↓
オリジナル画像二次元フーリエ変換画像
ガウシアンフィルタの特徴ガウシアンフィルタの特徴

上記の画像にノイズ除去系のガウシアンフィルタ、移動平均フィルタ、メディアンフィルタの
処理を行い、二次元フーリエ変換を行い確認してみました。

上記画像に5×5のガウシアンフィルタ処理を行うと

5×5のガウシアンフィルタ処理 二次元フーリエ変換画像
ガウシアンフィルタの特徴
ガウシアンフィルタの特徴

5×5の移動平均処理を行うと

5×5の移動平均処理 二次元フーリエ変換画像
ガウシアンフィルタの特徴
ガウシアンフィルタの特徴

5×5のメディアンフィルタ処理を行うと

5×5のメディアンフィルタ処理 二次元フーリエ変換画像
ガウシアンフィルタの特徴
ガウシアンフィルタの特徴

確かに処理結果を見てみると、ガウシアンフィルタが最も高周波成分を除去できているように
思います。

なぜ、そうなるのか?
本には数式においても、この効果が証明できるような事が書いてありましたが、ちょっと難しいので、
カーネルの値について見てみたいと思います。

そもそも、ある特定の周期の成分を消すためには、どうすれば良いか?というと、
周期の半分の離れた2点のデータを平均していけば、その周波数の成分を消す事が出来ます。
  特定周期の除去 

ここで、画像で表すことのできる最も高い周波数は

 明  暗  明  暗  明  暗  明  暗  明  暗  明  暗  明  暗  明  暗 

となる2画素周期のパターンで、このパターンを消すためには、隣り合う2画素の輝度値を
平均すると、画像データから最も高周波の成分を除去する事が出来ます。
しかし、隣り合う2画素の平均の結果は、画素間の位置の輝度値を示してしまうので、
この平均のさらに平均値を取ります。

連続する5つの輝度値の値をI-2~I2とすると、平均した値の平均値は
  高周波成分の除去

となり、なんとこの結果が3×3のガウシアンフィルタの横方向(縦方向)の係数と等しくなります。
さらに、平均の平均を取ると、5×5のガウシアンフィルタの係数と同じ。
7×7のガウシアンフィルタまで確認してみましたが、この平均の平均で表すことが出来るようです。

という訳で、ガウシアンフィルタの式
   ガウシアンフィルタ処理の式
で表される係数なら何でも良いと思いつつも、

  ガウシアンフィルタ係数ガウシアンフィルタのカーネル
 
の係数が良く使われるのかも?しれませんね。

さらにこの係数、半分の半分で求めるのは、ちょっと面倒。
これがまた都合よく、(a+b)nの式を展開したときの係数に使われる
パスカルの三角形
の値
ガウシアンフィルタのカーネル

と一次元のガウシアンフィルタの係数と等しくなります。(少なくとも7×7ぐらいまでは)
これを以下のように二次元的に掛け合わせて、係数の合計で割ればガウシアンフィルタの係数となります。
例えば7×7のガウシアンフィルタの係数では下図のようになります。

ガウシアンフィルタのカーネル

この値を係数の合計(=4096)で割ればガウシアンフィルタの係数の出来上がり!!!
(このときσの値は約1.3となります。)
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