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一般式による最小二乗法(円の最小二乗法)

前回はn次曲線による近似の方法につてい説明しましたが、円や楕円、
その他の一般式についても最小二乗法による近似は可能です。
今回は円の最小二乗法を例にとって説明しますが、他の一般式についても
要領は同じです。
楕円近似については「最小二乗法による楕円近似」を参照下さい。

まず初めに一般式を作成します。
円の場合、円の中心座標(a,b)、円の半径 r とすると

  (X - a)2 + (Y - b)2 = r2 ・・・①

n次曲線の時のようにX座標がXiの時のY座標Yiと近似曲線上のY座標f(Xi)
との差の二乗を計算しようにも、円のような式の場合、近似曲線上の点が
存在しない場合もあります。
そこで、今回はY座標の差の2乗の総和を求めるのではなく、①式を=0
式に変形し、点の座標(Xi,Yi)を代入し、その式の2乗の総和を求めます。
①式を=0になるように変形し、2乗の総和は

  ∑{(Xi - a)2 + (Yi - b)2 - r22 = 0 ・・・②

となります。
ただし、このまま未知数a,b,rに関して②式を偏微分してもa,b,rは4次関数と
なるので、各未知数の偏微分=0の時が最小とは限りません。
そこで、②式を展開し、下の式のように置きます。

  ∑{Xi2 + Yi2 + AXi + BYi + C}2 = 0 ・・・③

ただし    
  A = -2a ・・・④
  B = -2b ・・・⑤
  C =  a2 + b2 - r2  ・・・⑥

③式に関してA,B,Cについて偏微分すると

  ∂/∂A = A∑Xi2 + B∑XiYi + C∑Xi + ∑Xi3   + ∑XiYi2 = 0 ・・・⑦
  ∂/∂B = A∑XiYi + B∑Yi2 + C∑Yi + ∑Xi2Yi + ∑Yi3   = 0 ・・・⑧
  ∂/∂C = A∑Xi   + B∑Yi   + C∑1  + ∑Xi2   + ∑Yi2    = 0 ・・・⑨

⑦、⑧、⑨式を行列を用いて解くと

  円の最小二乗法

となり、逆行列を求めるとA,B,Cが求まり、④、⑤、⑥式より
円の中心座標(a,b)、円の半径 r を求めることができる。


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この記事に対するコメント

そうですね。
知っててやるのと、知らずしてやるのとは大違いですね。
通常の直線の最小二乗法にしてもY座標に関して誤差が最小になるようにしているので、
主成分分析を勉強すると、ちょっと見方が変わってきます...
【2009/07/01 07:36】 URL | Akira #- [ 編集]


実際には半径方向のばらつきが半径と比べて十分小さければ、ここで書かれている方法でかなり精度の良い近似が得られます。また何を最小化するかは目的によって様々です。したがって私としては、このやり方に文句があるわけではありません。ただ、点と円周との距離が最小2乗でフィッティングされているとの誤解をする方もいるのではないかと思ってコメントさせていただきました。
【2009/06/30 11:15】 URL | #- [ 編集]


なるほど~
とか言って、私は数学の専門家ではないので100%は理解できていないのですが、未知数を
ニュートン法で追い込むということですね?!
ちょっと自分でも解いてみたいと思います。
教えて頂きありがとうございました。

昨晩、少し考えてみたのですが、このページで紹介している方法は半径の2乗の差で
近似しているので、Rが大きい方に引っ張られてしまいます。
がしかし、中心位置はある程度、良い結果になっているかと思います。
ということで、やはり反復処理になってしまうのですが、初期解はここの方法で求めて、
Rの2乗に反比例する重みを付けて最小二乗で解くと、良い結果が得られるのではないか?
とか思ったりもしています。(まだ、評価していないですけど。)

いづれにしても、私は、まだまだ勉強不足ですね。
【2009/06/30 07:44】 URL | Akira #- [ 編集]


F_i={(X_i-a)^2+(Y_i-b)^2)}^(1/2)-r という式を、点の数だけ並べた多変数非線形方程式と考えてニュートン法で解くと良いのではないでしょうか。

このとき最小2乗を意識せずに、bold F = bold 0 として、a, b, rについて解きます。
解くときに擬似逆行列を使うことになるので、擬似逆行列の性質として収束値が最小2乗解であることが保障されることになると思います。

ここのページで書かれている解はニュートン法の初期解として良いものになっていると思います。
【2009/06/30 06:19】 URL | #- [ 編集]


確かに、ご指摘頂いように、この方法で円の近似を行うと、外側に引っ張られる傾向があります。
最小二乗法の本来の意味でいくと、近似したデータと近似するデータの2乗の和が最小に
しないといけないので、円の場合は
近似するデータを(Xi、Yi)、円の中心を(X0,Y0)、円の半径をRとすると
 Σ( √( (Xi - X0)^2 + (Yi - Y0)^2 ) - R )^2
が最小になる中心と半径を求める事になるのですが、これを解くのがちょっと難しい
(私は解いた事がありません。)ので、Rの2乗の差の2乗が最小になるように、つまり、
 Σ( √( (Xi - X0)^2 + (Yi - Y0)^2 )^2 - R^2 )^2
が最小になるように解いています。
他のサイトで円の近似方法を調べてもみましたが、円の中心が全データ(Xi、Yi)の
平均値と説明されているものがありましたが、これだと、データ分布に偏りがある場合は
中心もズレてしまいます。
ということで、私もよく分かっていないのですが、分かりましたら教えて下さい。
【2009/06/30 01:38】 URL | Akira #- [ 編集]


この方法ですと、たとえば、点(3,0),(5,0),(0,3),(0,5),(-3,0),(-5,0),(0,-3),(0,-5)をフィッティングさせると、中心(0,0)、半径sqrt(17)の円になります。
本来は、中心(0,0)、半径4になることを期待していると思うのですが違うのでしょうか。
【2009/06/29 23:29】 URL | #- [ 編集]


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