画像処理ソリューション
これを見れば画像処理の入門から基礎~応用まで全てがわかるのを目指して!
   
翻訳(Translate)

プロフィール

Akira

ニックネーム:Akira
東京都の町田事業所に勤務
画像処理ソフトの開発を行っています。リンクフリーです!
詳細プロフィールは こちら
お問い合わせは、こちら↓

【補助HP】
画像処理ソリューションWeb版 【Newブログ】
イメージングソリューション

スポンサーリンク


カテゴリ

最近のコメント

カレンダー

04 | 2017/05 | 06
S M T W T F S
- 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 - - -

趣味のブログ

iPhone萬歳!
iPhoneの情報いろいろ。
ブログ学習帳
ブログ、SEO、アフィリエイト情報など(まだまだこれから)
俺流クラフト日記
ハンドメイド作品の記録(現在、放置中)

スポンサーリンク 最近の記事
(09/18)  計測測定展に光切断のデモを出展しました
(08/17)  ディジタル画像技術事典200に記事が載りました
(06/09)  光切断を画像センシング展で公開
(05/14)  中国(上海)へ行って来ました
(04/12)  韓国へ行って来ました
(03/10)  私の求める新人像
(01/18)  エレクトロテストジャパンにカラー光切断法のデモを出展しました。
(12/23)  ユニークアクセス200万達成!
(12/10)  【カラー光切断法】YouTube動画まとめ
(11/04)  国際画像機器展2014にカラー光切断法を出展します。
(10/05)  第25回コンピュータビジョン勉強会@関東に参加してきました。
(09/08)  フーリエ変換の記事を追加しました。
(08/09)  【画像処理】ランキング低下中
(07/06)  記事の更新が停滞中...
(06/08)  画像センシング展2014でカラー光切断法のデモを行います。
(05/17)  カラー光切断法の動画を公開しました。
(04/30)  ソニーα NEX-5Rで星空撮影
(04/10)  カラー光切断法の取込結果を追加しました
(03/08)  Korea Vision Show 2014へ行ってきました
(02/05)  フーリエ変換シリーズを始めます。
(01/06)  2014年、あけましておめでとうございます。
(12/04)  カラー光切断法を公開(国際画像機器展2013にて)
(11/13)  国際画像機器展2013に出展します
(10/14)  「画像処理のためのC#」はじめます。
(09/16)  【C#,VB.NET】高速描画コントロールをバージョンアップしました。
(09/04)  拡大鏡に輝度値表示、ルーラー機能を追加した個人ツールを公開
(08/05)  7月の拍手Top5
(07/06)  2013年6月人気記事Top5
(05/12)  SONY α NEX-5Rレビュー
(04/24)  SONY α NEX-5RY購入

最小二乗法

最小自乗法ともいいます。
点の集まりから、近似直線(曲線)を引くための手法です。

最小二乗グラフ


全ての点と近似直線との差の合計が最小になるようになるように直線を引きます。
今回は簡単にするため、f(X)= aX + b の直線の場合で説明します。

X = Xi のとき、直線上のY座標は

  Yi = f(Xi) = aXi + b

より、点と近似直線との差は

  Yi - f(Xi)

   = Yi - (aXi + b)

となります。

この差の合計が一番小さい時にもっとも点の集まりを直線で近似できている
こととなりますが、そのままこの差の総和を計算すると差の値がプラスの時と
マイナスの時があるため、差を2乗してから合計した値が最小になるようにします。

よって、差の2乗の合計は

  
∑(Yi - (aXi + b))2

 = ∑ (a2Xi2 + 2aXib + b2 - 2aXiYi - 2bYi + Yi2)・・・式①

となり、この総和の値が最小となるaとbを求めれば近似直線を求められる
こととなります。

この式を良くみると、aとbの二次関数でできているため、この二次関数が最小となる値を求めればよい。
二次関数が最小となるのは微分した値 = 0 の場合であるから、式①をaとbで
偏微分した値が0(ゼロ)となる値を求めればよい。

式①をaとbでそれぞれ偏微分すると

  ∂/∂a = 2a∑Xi2 + 2b∑Xi - 2∑XiYi = 0

  ∂/∂b = 2a∑Xi  + 2b∑1  - 2∑Yi    = 0

となり、未知数がaとbで式が2本あることから、aとbの連立法的式を解くことで未知数a,bを求めることができる。

連立方程式を行列で表すと
  一次式近似        

となり、行列を解くと未知数a,bが求まり、近似直線を求めることができる。

ちなみに、二次式(aX2 + bX + c)で近似すると

 2次式

三次式(aX3 + bX2 + cX + d)で近似すると

 3次式

と規則的に変化し、n次式近似のプログラムも簡単に作ることができます。

この計算をエクセルで行ったものはこちらからダウンロードできます。


逆行列を求めるプログラムにはガウスの消去法などが一般的に用いられます。

ここで、注意点!
三次式(aX3+bX2+cX+d)の近似を例にとってみると、近似処理をする過程でXに関する計算式はX~X6まで計算されます。
ここで、例えばXの値の範囲が

  0.01~1000

だったとすると、Xに関する計算では

  0.000000000001~1000000000000000000

までの計算がされます。逆行列の計算ではこれらの値に関して足し算や掛け算がなされる訳ですからコンピュータの計算誤差(桁落ち、情報落ちなど?)が発生する場合があります。
これを防ぐために、最小二乗法のプログラムでは近似式をそのまま使うのではなく、Xの値から
Xの平均値(Xb)を引いた計算式

  a(X-Xb)3+b(X-Xb)2+c(X-Xb)+d

で処理を行うのが一般的です。


Loading...
スポンサーリンク

この記事に対するコメント

この記事に対するコメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する


この記事に対するトラックバック
トラックバックURL
→http://imagingsolution.blog107.fc2.com/tb.php/15-b801cc3b
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)

現在の閲覧者数: / 合計