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Akira

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平面の方程式


下図のように点(X0, Y0, Z0)を通り、法線ベクトルが

  平面の方程式

の平面の方程式は

  
a(Xi - X0) + b(Yi - Y0) +  c(Zi - Z0)  =  0

となり、一般に

  aX + bY + cZ + d = 0

とします。
  平面の方程式

【考え方】
法線ベクトル(a, b, c)と、点(X0, Y0, Z0)を始点とし平面上の任意の点(Xi, Yi, Zi
終点とするベクトルとのなす角度は90度なので、内積が0となるため

  a(Xi - X0) +
b(Yi - Y0) +  c(Zi - Z0)  =  0

となります。
この式を整理すると先ほどの平面の方程式
  
  aX + bY + cZ + d = 0

となる訳です。

ここで、平面の方程式を求める時には、平面は三次元空間上の3点
(X0, Y0, Z0)
(X1, Y1, Z1)(X2, Y2, Z2)から求まるのですが、法線ベクトルは
3点からなる2つのベクトルの外積から求まるので

(a, b, c) = ( (Y1 - Y0) × (Z2 - Z0) - (Y2 - Y0)
× (Z1 - Z0) ,
                (Z1 - Z0)
× (X2 - X0) - (Z2 - Z0) × (X1 - X0) ,
               
(X1 - X0) × (Y2 - Y0) - (X2 - X0) × (Y1 - Y0) )

となるので、平面の方程式が求まります。
 
  平面の方程式

もしくは平面の方程式を連立方程式的に求める場合は、平面の方程式には
未知数が4つあるので、未知数4つに対して、式が3本しか成り立たないので、
未知数を求めることができません。

そこで、法線ベクトルが単位ベクトルとなるように
 a2 + b2 + c2 = 1
という条件を付けてラグランジュの未定乗数法で解ける?と思いますが、
ちょっと難しくなってしまうので、平面の方程式の全体をdで割って、

  aX + bY + cZ + 1 = 0

という形式で平面の方程式を求めます。

4点以上の点から平面の方程式を求める場合には、最小二乗法
擬似逆行列を使って求めます。
それぞれの解き方については、下記ページを参照願います。

  

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