画像処理ソリューション
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Akira

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回転行列、拡大縮小行列、平行移動行列(三次元座標の場合)

メインページ使える数学

三次元座標の場合、まず座標軸の定義、回転方向の定義を明確に覚えます。

    三次元座標の定義
 この座標は右手座標系と呼ばれます。
 フレミングの法則のときのように右手で親指、人差し指、中指をそれぞれ
 直交するようにします。
 このとき親指から順に親指X軸人差し指Y軸中指Z軸の方向と
 なります。
 回転方向は電流と磁界の向きと同じように電流軸の向き磁界回転方向
 に相当します。(右ねじの法則と同じです。)
 

  回転行列

三次元の回転行列の前に二次元の回転行列のおさらいです。
二次元の回転行列は以下の通りとなります。
二次元座標の回転

これをベースに三次元座標の場合では、回転する軸の正の方向から
原点の方向を見たときに、X軸、Y軸はそれぞれ何軸に相当するのか?
を考えれば、二次元座標のXやYの変数の置き換えで導き出すことが
できます。
行列変換しない軸に関しては単位行列でそのまま残します。

【X軸周りの回転】
X軸周りの回転

【Y軸周りの回転】
Y軸周りの回転


【Z軸周りの回転】

Z軸周りの回転

  拡大縮小行列

点(x, y, z)を原点に関してX軸方向にS倍、Y軸方向にS
Z軸方向にSZ
する行列は

拡大行列

  平行移動行列

点(x, y, z)をX軸方向にT、Y軸方向にT、Z軸方向にTZだけ移動する
行列は

平行移動

 


三次元の座標変換に関して検索すると座標変換は下記のように

行ベクトル

行ベクトルで表記される場合もあるのですが、変換行列の値が変わるので、
混同しないようご注意下さい。
おそらくDirectX(Direct3D)でしか使われないので、特に必要の無い場合は
覚えない方が無難です。

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