画像処理ソリューション
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Akira

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最小二乗法による楕円近似

楕円についても、「一般式による最小二乗法」で説明したように、最小二乗法を用いて、
近似することができるのですが、若干、計算が複雑なので、簡単に説明をしたいと思います。

この楕円近似の計算をエクセルで解いたファイルは
こちらからダウンロードできます。
楕円近似の図

上図のように
 楕円の中心を(X,Y
 X軸方向の長さをa
 Y軸方向の長さをb
 楕円の傾きをθ
としたときの一般式は

楕円の公式
となります。
(この一般式の作成方法はグラフ(関数)の拡大縮小、平行移動のページを参照下さい。)
この式を展開し、Xi、Yiに関して整理すると、

最小二乗法による楕円近似

となり、右辺の1を左辺に移項して未知数部分を変数で置き換えると
楕円の一般式1
としたくなりますが、これだと全ての項に変数がかかっているため、変数A~Fの定数倍の
組み合わせができてしまい、 A~Fの解が不定になってしまうので、式全体をA~Fの
どれかの値で割ると変数を1つ減らす事ができ、

楕円の一般式2
と置きます。

この式の2乗の和が最小になるよにA~Eの値を決めればいいので、
楕円の総和
の式をA~Eで偏微分し、行列で現すと

楕円の行列式1

となり、A~Eを求めるために両辺に逆行列を掛け合わせると

楕円の逆行列

となり、未知数A~Eを求める事ができます。

ここから先の計算が複雑で自信の無い部分なので、自己責任で参照願います。

A~Eの値を元に本来求めるべき楕円の中心、傾き、長軸、短軸の長さは

中心の座標(X,Y

楕円の中心

楕円の傾きθ
楕円の傾き

X軸方向の長さa、Y軸方向の長さb
楕円の長軸、短軸の長さ

となります。

 傾いた楕円の描画方法については別途記事にまとめました。参照下さい。

傾いた楕円の描画(Graphicsクラスを用いた方法)

傾いた楕円の描画(楕円上の点の座標を求める方法)


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